——凯撒大帝的最后一口气引子
费米 (enrico fermi, 1901-1954) 是近代一位非常著名的物理学家。在他领导下，人类制造了第一枚原子弹，也成功产生受控热核反应，把世界带进原子能的时代。他生平有趣的事迹很多，而其中最为人乐道的是他对物理问题作数量级估计的能力。据说费米在世上第一枚原子弹试爆时，在离现场很远的地方撒下碎纸片，然后观察碎纸片受空气压力冲击后漂移的距离，经过数分钟心算后，估计出核爆的威力约相当于数万吨工业炸药。这与精密仪器数星期后分析得到的结果在数量级上相若，使与他合作的研究人员十分惊讶。
问题费米很喜欢用一些简化了的问题去启发学生对物理问题的估计能力。其中一个有趣的问题是：“你每吸入一口气时，究竟吸入了多少凯撒大帝临死前呼出最后一口气的气体分子？”为了简化问题，我们可以假设凯撒临死前呼出的空气分子均匀扩散至整个大气层，而这些分子数千年来并没有被海洋或植物等吸收。虽然这些都是不太合理的假设，但可以帮助我们暂时从过于复杂的现实世界跳出来，用最简单的模式作基本的估计。为了方便大家计算，我们提供以下的提示和资料：
提示首先估计呼出一口气的体积与整个地球大气层体积的比例 (为简单起见，可以假设所有气体皆非常均匀地分布于地球表面上一层高度为五十公里的壳层)。由此可推算出每呼吸一次吸入了多少凯撒呼出的气体体积，最后以大气的密度及每个空气分子的平均质量估计当中的分子数。设
参考资料：the fermi solution, hans christian von baeyer
答案先估计地球大气层的体积 v。由于大气层的厚度远小于地球半径，因此
人每呼吸一口气的体积 约为一公升，即 。假设凯撒大帝呼出最后一口气的气体分子均匀分布于大气层内，则我们每吸一口气，吸入了凯撒大帝呼出的气体体积 约为
地球大气的主要成分为氮，其次为氧。由于氮和氧的分子量相差不远，我们只用氮作估计。每个氮分子有两个原子，每个原子有 7 粒质子，7 粒中子。忽略电子的质量，一个氮分子的质量约为
因此每口气吸入了凯撒大帝呼出的气体分子数约为
即平均每吸入一口气，便吸入了凯撒大帝临死前呼出的一个气体分子。
后记可能有些同学会注意到我在计算过程中只取一个有效数字。可以告诉你，我在整个计算过程中并没有使用计算器。在你们的来信中我注意到有些同学尝试做出很准确的计算，甚至对空气的成份作详细的分析。其实这些都是不必要的，因为在许多简化问题的假设限制下 (例如我们假设空气的密度是均匀的，这当然是不正确的)，无论怎样计算也不可能得出准确的答案。事实上，“费米问题”的精神在于训练我们在缺乏足够资料与计算技巧时，对问题做出一个非常粗略但在数量级上尚算可靠的估计。试想想，当世上第一个原子弹试爆时，费米手上并没有计算器或精密的仪器，他的魅力只来自几片碎纸和丰富的想象力而已！
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